SAT Functions, 헷갈리지 않는 법

안녕하세요, 탑에듀프렙입니다. 오늘은 SAT 수학에서 학생들이 "그래프도 알고 공식도 아는데 자꾸 헷갈린다"고 말하는 파트, 바로 함수(Functions)를 다뤄볼게요. 함수 문제가 어렵게 느껴지는 이유는 딱 하나예요. f(x)라는 기호 자체를 "계산기"가 아니라 "대응관계표"로 읽는 연습이 안 되어 있기 때문이에요. 다섯 문제로 이 감각을 잡아드릴게요.

문제 1: 표는 곧 "대응관계 사전"이다

함수 f와 g의 표가 주어졌어요. g(c)=5일 때 f(c)는?

이 문제는 단순해 보이지만, 함수를 "사전"처럼 다루는 훈련이에요. 먼저 표에서 g(x)=5가 되는 x를 찾아요 → x=1일 때 g(1)=5. 그럼 c=1이고, 이제 f(1)을 표에서 찾으면 3이에요. 정답 B) 3.

핵심은 "g(c)=5"라는 조건을 보자마자 표의 g열에서 5를 먼저 찾고, 그 줄의 x값을 확인한 다음, 그 x를 f열에 대입하는 순서예요. f와 g를 헷갈려서 반대로 찾는 실수가 은근히 많으니, "어느 열에서 찾고 어느 열로 가는지"를 손가락으로 짚어가며 푸는 습관을 들이세요.

문제 2: 인수분해 문제, "중복되는 근"을 놓치지 마라

f(x) = −x(x−a)(x+a)(x+b)(x+b), a와 b는 양수이고 a≠b. f(x)=0이 되는 서로 다른 x값은 몇 개?

인수를 하나씩 0으로 만들어보면 x=0, x=a, x=−a, x=−b, x=−b가 나와요. 얼핏 다섯 개처럼 보이지만, (x+b)가 두 번 반복되고 있으니 x=−b는 사실 같은 값이 두 번 나온 것뿐이에요. 그러니까 서로 다른 값은 0, a, −a, −b 이렇게 네 개. 정답 C) Four.

이 문제는 "인수의 개수 = 근의 개수"라고 기계적으로 세는 학생들을 정확히 노려요. 몇 번 곱해졌는지가 아니라, 서로 다른 값이 몇 개인지를 묻는다는 걸 항상 의식해야 해요.

문제 3: 그래프 이동, "세로 이동"은 높이만 바꾼다

f(x)가 (3, f(3))에서 최댓값을 가져요. g(x) = f(x) + 7일 때, g(x)의 최댓값은 어디서 나올까요?

g(x)=f(x)+7은 f의 그래프를 위로 7만큼 평행이동한 거예요. 평행이동은 x좌표를 바꾸지 않아요. 최댓값이 나오는 위치(x=3)는 그대로고, 높이만 7 올라가서 y값이 f(3)+7이 돼요. 정답 D) (3, f(3)+7).

학생들이 여기서 자주 하는 실수는 "+7"을 보고 x에다 더해버리는 거예요. "f(x)+7"과 "f(x+7)"은 완전히 다른 이동이라는 걸 꼭 구분하세요. 앞의 것은 위아래 이동(y값 변화), 뒤의 것은 좌우 이동(x값 변화)이에요.

문제 4: 두 그래프의 "부호 비교"는 교점부터 찾아라

그래프로 주어진 f(x)는 위로 볼록한(아래로 열린) 포물선이고, g(x)=(x+3)(x−1)은 아래로 볼록한(위로 열린) 포물선이에요. 이 둘은 x=−3과 x=1에서 똑같이 x축과 만나요(같은 근). f(x) > g(x)가 되는 구간은 어디일까요?

여기서 그래프를 하나하나 계산할 필요 없어요. 두 포물선이 같은 두 점(-3, 1)에서 교차하고, 하나는 위로 볼록, 하나는 아래로 볼록이니까, 그 두 근 사이 구간(−3<x<1)에서는 f가 위, 바깥 구간에서는 g가 위로 뒤집혀요. 보기 중 이 사이 구간에 들어가는 값은 −2뿐이에요. 정답 B) −2.

이 문제가 가르쳐주는 태도는 이거예요. 두 그래프를 비교할 땐 먼저 "어디서 만나는지"부터 찾고, 그 교점을 경계로 구간을 나눠서 부호를 판단하라는 것. 이 순서만 지키면 그래프 비교 문제는 계산 없이도 눈으로 풀립니다.

문제 5: 합성함수도 결국 표 읽기다

f(x) 표가 주어지고, g(x)=2f(x)예요. g(k)=8이 되는 k는?

g(k)=8이라는 건 2f(k)=8, 즉 f(k)=4라는 뜻이에요. 표에서 f(x)=4가 되는 x를 찾으면 x=3. 정답 B) 3.

이런 문제는 g(x)를 직접 계산하려 하지 말고, 주어진 조건을 f(x)에 대한 식으로 먼저 바꾸는 게 훨씬 빨라요. "g(k)=8" → "f(k)는 몇이어야 하는가"로 치환하는 연습을 해두면 합성함수 문제에서 시간을 크게 아낄 수 있어요.

결론: 함수 문제는 "기호 번역"이 반이다

오늘 다룬 다섯 문제의 공통점은 하나예요. f(x), g(x) 같은 기호를 보고 바로 계산기를 두드리려 하지 않고, "이 기호가 지금 나에게 뭘 알려주고 있는가"를 먼저 번역하는 거예요. 표는 대응관계 사전으로, "+숫자"는 이동 방향으로, 두 그래프의 교점은 부호가 바뀌는 경계로 읽는 연습을 하면, 함수 파트는 SAT에서 가장 빠르게 점수를 얻을 수 있는 구간이 됩니다.

탑에듀프렙에서는 함수 문제를 풀 때 "이 기호가 무슨 뜻인지 말로 설명해보기"부터 시작해요. 계산은 맞는데 자꾸 함수 문제에서 헷갈린다면, 공식보다 이 "번역 습관"부터 점검해보시길 추천드려요.