SAT 지수·근호 총정리

안녕하세요, 탑에듀프렙입니다. 오늘은 SAT 수학의 가장 기본이면서도 은근히 실수가 잦은 파트, 지수와 근호(Exponents & Radicals)를 다뤄볼게요. 이 파트는 사실 공식 몇 개만 정확히 알면 거의 다 풀리는데, 문제마다 "지수로 표현"과 "근호로 표현"을 왔다 갔다 시키기 때문에 헷갈리는 학생들이 많아요. 여섯 문제로 이 감각을 확실히 잡아드릴게요.

문제 1: 같은 밑끼리는 지수를 더한다, 그게 전부다

(x²y)(x⁴y⁻³)와 같은 식은? 밑이 같은 것끼리 지수를 더하면 돼요. x: 2+4=6, y: 1+(−3)=−2. 결과는 x⁶y⁻². 정답 B.

이 문제에서 실수하는 포인트는 딱 하나, y의 지수가 1이라는 걸 놓치는 것이에요. y는 y¹이라는 걸 항상 의식하고 지수를 더해야 해요.

문제 2: 근호 안의 분수는 분자·분모를 따로 쪼개라

√(x/64)는? 근호는 분자와 분모에 각각 따로 씌울 수 있어요: √x / √64 = x^(1/2) / 8. 정답 C.

여기서 자꾸 √64를 8이 아니라 64로 그대로 두거나, x^(1/2)을 x²로 착각하는 실수가 나와요. √x = x^(1/2)이라는 변환을 반사적으로 할 수 있어야 다음 단계로 넘어갈 수 있어요.

문제 3: 분수지수끼리는 나눗셈이 곧 뺄셈이다

x^(5/6) ÷ x^(1/3) (즉 ∛x로 나누는 것)은? 지수법칙상 같은 밑을 나눌 때는 지수를 빼면 돼요: 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2. 결과는 x^(1/2). 정답 A.

이 문제는 분수 계산 자체보다, ∛x를 x^(1/3)으로 바꿔서 지수법칙을 적용해야 한다는 걸 떠올리는 것이 핵심이에요. 근호 기호를 보자마자 "아, 이건 분수지수 문제구나"로 전환하는 반사신경을 길러야 해요.

문제 4: 지수를 "분수"로 통일해서 비교하라

b^(9/7)과 같은 식은 근호로 어떻게 쓸 수 있을까요? 답은 여러 근호 표현(15제곱근, 105제곱근 등)으로 주어져 있어서, 각 선택지를 b^(지수) 형태로 바꿔서 비교하는 게 가장 빨라요. 105제곱근에 b^135를 넣은 표현은 b^(135/105) = b^(9/7)로 원래 식과 정확히 일치해요. 정답 C.

이런 문제의 전략은 명확해요. 선택지를 하나하나 "n제곱근에 b^m" → b^(m/n) 형태로 바꿔서, 원래 지수 9/7과 같아지는 걸 찾는 거예요. 암산으로 어림짐작하지 말고, 반드시 분수로 약분해서 정확히 확인하는 습관을 들이세요.

문제 5: 분배법칙은 지수 문제에서도 그대로 적용된다

(b⁶c⁻²d⁻⁵)와 (b⁸c⁻³+c⁴d⁵)의 곱은? 이건 결국 (a)(b+c) = ab+ac 형태의 분배법칙 문제예요. - 첫 번째 항: b⁶c⁻²d⁻⁵ × b⁸c⁻³ = b^(6+8)c^(−2−3)d⁻⁵ = b¹⁴c⁻⁵d⁻⁵ - 두 번째 항: b⁶c⁻²d⁻⁵ × c⁴d⁵ = b⁶c^(−2+4)d^(−5+5) = b⁶c²d⁰ = b⁶c²

합치면 b¹⁴c⁻⁵d⁻⁵ + b⁶c². 정답 C.

여기서 가장 흔한 실수는 두 번째 항을 곱할 때 d⁻⁵와 d⁵가 곱해지면 d⁰=1이 되어 사라진다는 걸 깜빡하고 d를 그대로 남겨버리는 거예요. 지수가 0이 되면 그 문자는 완전히 사라진다는 걸 꼭 기억하세요.

문제 6: 근호부터 정리한 다음 나눗셈하라

8x² ÷ √(4x⁶y⁴)는? 먼저 근호 안을 정리해요: √(4x⁶y⁴) = √4 × √x⁶ × √y⁴ = 2x³y². 이제 나눠주면: 8x² ÷ (2x³y²) = 4x^(2−3)y⁻² = 4x⁻¹y⁻². 정답 C.

이 문제는 근호를 먼저 완전히 풀어낸 다음에 지수법칙을 적용하는 순서가 핵심이에요. 근호와 나눗셈을 동시에 처리하려고 하면 실수하기 쉬우니, 반드시 "① 근호 정리 → ② 지수법칙 적용" 두 단계로 나눠서 푸는 습관을 들이세요.

결론: 지수법칙 세 가지만 정확히 알면 이 파트는 끝난다

오늘 다룬 여섯 문제를 관통하는 도구는 딱 세 가지예요. ① 같은 밑끼리 곱할 때는 지수를 더하고, 나눌 때는 지수를 뺀다. ② 근호는 언제든 분수지수(x^(1/n))로 바꿔 쓸 수 있다. ③ 분배법칙은 지수식에서도 똑같이 적용된다. 이 세 가지를 자동으로 튀어나오게 만들어두면, 지수·근호 파트는 SAT에서 실수 없이 가장 빨리 풀 수 있는 구간이 됩니다.

탑에듀프렙에서는 지수 문제를 풀 때 "근호를 보면 바로 분수지수로 바꿔 쓰기"부터 습관화시켜요. 지수 문제에서 계산은 맞는데 자꾸 시간이 오래 걸린다면, 공식을 더 외우기보다 이 전환 반사신경부터 점검해보시길 추천드려요.